Thực đơn
Giá_trị_riêng Các ví dụVí dụ 1: Tìm GTR, VTR của ma trận A: [ − 1 3 − 2 4 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}-1&3\\-2&4\\\end{array}}\right]}
Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:
P ( λ ) = d e t ( A − λ I ) = 0 ⇔ | − 1 − λ 3 − 2 4 − λ | = 0 ⇔ λ 2 − 3 λ + 2 = 0 {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I)=0\Leftrightarrow \left|{\begin{array}{rr}-1-{\lambda }&3\\-2&4-{\lambda }\\\end{array}}\right|=0\Leftrightarrow {\lambda }^{2}-3{\lambda }+2=0}
Giải phương trình đặc trưng, ta có: λ 1 = 1 ; λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1;{\lambda }_{2}=2}
Bước 2: Tìm các VTR:
1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1}
Ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1} ta có VTR u 1 = ( x ; y ) {\displaystyle u_{1}=(x;y)} là nghiệm của hệ phương trình:
( A − λ 1 ∗ I ) u 1 = 0 ⇔ { − 2 x + 3 y = 0 − 2 x + 3 y = 0 ⇒ 2 x = 3 y {\displaystyle (A-{\lambda }_{1}*I)u_{1}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-2x+3y=0\\-2x+3y=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow 2x=3y}
Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1} có dạng u 1 = ( 3 a ; 2 a ) = ( 3 ; 2 ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(3a;2a)=(3;2)a;a\neq 0}
2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2}
Ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2} ta có VTR u 2 = ( x ; y ) {\displaystyle u_{2}=(x;y)} là nghiệm của hệ phương trình:
( A − λ 2 ∗ I ) u 2 = 0 ⇔ { − 3 x + 3 y = 0 − 2 x + 2 y = 0 ⇒ x = y {\displaystyle (A-{\lambda }_{2}*I)u_{2}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-3x+3y=0\\-2x+2y=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow x=y}
Vậy VTR ứng với GTR λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2} có dạng u 2 = ( b ; b ) = ( 1 ; 1 ) b ; b ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(b;b)=(1;1)b;b\neq 0}
Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A: [ 1 2 − 2 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&2\\-2&1\\\end{array}}\right]} , xem A là ma trận phức
Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:
d e t ( A − λ I ) = 0 ⇔ | 1 − λ 2 2 1 − λ | = 0 ⇔ ( 1 − λ ) 2 + 4 = 0 ( 1 ) {\displaystyle det(A-{\lambda }I)=0\Leftrightarrow \left|{\begin{array}{rr}1-{\lambda }&2\\2&1-{\lambda }\\\end{array}}\right|=0\Leftrightarrow (1-{\lambda })^{2}+4=0(1)}
Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có: λ 1 = 1 + 2 i ; λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i;{\lambda }_{2}=1-2i}
Bước 2: Tìm các VTR:
1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i}
Ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i} ta có VTR u 1 = ( x ; y ) ; x , y ∈ C {\displaystyle u_{1}=(x;y);x,y\in C} là nghiệm của hệ phương trình:
( A − ( 1 + 2 i ) I ) u 1 = 0 ⇔ { − 2 i x + 2 y = 0 − 2 x − 2 i y = 0 ⇒ y = i x {\displaystyle (A-(1+2i)I)u_{1}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-2ix+2y=0\\-2x-2iy=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow y=ix}
Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i} có dạng u 1 = ( a ; i a ) = ( 1 ; i ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(a;ia)=(1;i)a;a\neq 0}
2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{2}=1-2i}
Ứng với giá trị riêng λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{2}=1-2i} ta có VTR u 2 = ( x ; y ) ; x , y ∈ C {\displaystyle u_{2}=(x;y);x,y\in C} là nghiệm của hệ phương trình:
( A − ( 1 − 2 i ) I ) u 2 = 0 ⇔ { 2 i x + 2 y = 0 − 2 x + 2 i y = 0 ⇒ x = i y {\displaystyle (A-(1-2i)I)u_{2}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}2ix+2y=0\\-2x+2iy=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow x=iy}
Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1-2i} có dạng u 2 = ( i a ; a ) = ( i ; 1 ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(ia;a)=(i;1)a;a\neq 0}
Ví dụ 3:
a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận: A = [ 1 − 1 − 1 1 3 1 − 3 1 − 1 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\1&3&1\\-3&1&-1\\\end{array}}\right]}
b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}
c. Tính d e t ( A − 2008 I 3 ) {\displaystyle det(A-2008I_{3})}
d. Tìm GTR, VTR của A {\displaystyle A} .
Giải.
a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận A {\displaystyle A} :
P ( λ ) = λ 3 − 3 λ 2 − 4 λ + 12 {\displaystyle P({\lambda })={\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}-4{\lambda }+12}
b. Theo tính chất 4 {\displaystyle 4} ta có: P ( A ) = A 3 − 3 A 2 − 4 A + 12 I 3 = 0 {\displaystyle P(A)=A^{3}-3A^{2}-4A+12I_{3}=0} . Do đó:
− A 3 + 3 A 2 + 4 A = 12 I 3 ⇒ A ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) = ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) . A = 12 I 3 {\displaystyle -A^{3}+3A^{2}+4A=12I_{3}\Rightarrow A(-A^{2}+3A+4I_{3})=(-A^{2}+3A+4I_{3}).A=12I_{3}}
Đặt B = 1 12 ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) {\displaystyle B={\dfrac {1}{12}}(-A^{2}+3A+4I_{3})} .
Ta có: A . B = B . A = I 3 {\displaystyle A.B=B.A=I_{3}} .
Do đó: A {\displaystyle A} khả nghịch và A − 1 = − A 2 + 3 A + 4 I 3 {\displaystyle A^{-1}=-A^{2}+3A+4I_{3}}
c. Ta có P ( λ ) = d e t ( A − λ I 3 ) {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I_{3})} nên:
d e t ( A − 2008 I 3 ) = P ( 2008 ) = 2006.2010.2005 {\displaystyle det(A-2008I_{3})=P(2008)=2006.2010.2005}
d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR: λ 1 = − 2 ; λ 2 = 2 ; λ 3 = 3 {\displaystyle {\lambda }_{1}=-2;{\lambda }_{2}=2;{\lambda }_{3}=3}
Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = − 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=-2} có dạng: u 1 = ( 1 ; − 1 ; 4 ) a , a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(1;-1;4)a,a\neq 0}
VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=2} có dạng: u 2 = ( − 1 ; 0 ; 1 ) b , b ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(-1;0;1)b,b\neq 0}
VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 3 {\displaystyle {\lambda }_{1}=3} có dạng: u 3 = ( − 1 ; 1 ; 1 ) c , c ≠ 0 {\displaystyle u_{3}=(-1;1;1)c,c\neq 0}
Thực đơn
Giá_trị_riêng Các ví dụLiên quan
Giá trị riêng và vectơ riêng Giá trị thặng dư Giá trị R (cách nhiệt) Giá trị kỳ vọng Giá trị tuyệt đối Giá trị (kinh tế học) Giá trị quan Giá trị hiện tại thuần Giá trị sổ sách Giá trị vốn hóa thị trườngTài liệu tham khảo
WikiPedia: Giá_trị_riêng